¿Qué es el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes, que lleva el nombre del matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional . La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un resultado, basada en un resultado previo.

El teorema de Bayes proporciona una forma de revisar las predicciones o teorías existentes (actualizar las probabilidades) dada la evidencia nueva o adicional. En finanzas, el teorema de Bayes se puede utilizar para calificar el riesgo de prestar dinero a posibles prestatarios.

El teorema de Bayes también se llama Regla de Bayes o Ley de Bayes y es la base del campo de la estadística Bayesiana.

Comprensión del teorema de Bayes

Las aplicaciones del teorema están muy extendidas y no se limitan al ámbito financiero. Como ejemplo, el teorema de Bayes se puede utilizar para determinar la precisión de los resultados de las pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona determinada tenga una enfermedad y la precisión general de la prueba.

El teorema de Bayes se basa en incorporar distribuciones de probabilidad previas para generar probabilidades posteriores. La probabilidad previa, en la inferencia estadística bayesiana, es la probabilidad de un evento antes de que se recopilen nuevos datos. Ésta es la mejor evaluación racional de la probabilidad de un resultado basada en el conocimiento actual antes de realizar un experimento.

La probabilidad posterior es la probabilidad revisada de que ocurra un evento después de considerar nueva información. La probabilidad posterior se calcula actualizando la probabilidad anterior mediante el teorema de Bayes. En términos estadísticos, la probabilidad posterior es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido.

El teorema de Bayes, por tanto, da la probabilidad de un evento basado en nueva información que está, o puede estar relacionada, con ese evento.

La fórmula también se puede utilizar para ver cómo la probabilidad de que ocurra un evento se ve afectada por nueva información hipotética, suponiendo que la nueva información resulte ser cierta. Por ejemplo, digamos que se extrae una sola carta de una baraja completa de 52 cartas. La probabilidad de que la carta sea un rey es cuatro dividida por 52, lo que equivale a 1/13 o aproximadamente 7,69%.

Recuerda que hay cuatro reyes en la baraja. Ahora, suponga que se revela que la carta seleccionada es una figura. La probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey, dado que es una carta con figura, es cuatro dividido por 12, o aproximadamente el 33,3%, ya que hay 12 cartas con figuras en una baraja.?

Ejemplos del teorema de Bayes

A continuación se muestran dos ejemplos del teorema de Bayes en el que el primer ejemplo muestra cómo se puede derivar la fórmula en un ejemplo de inversión en acciones utilizando Amazon.com Inc. ( AMZN ). El segundo ejemplo aplica el teorema de Bayes a las pruebas de drogas farmacéuticas.

Derivando la fórmula del teorema de Bayes

El teorema de Bayes se deriva simplemente de los axiomas de probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro evento. Por ejemplo, una pregunta de probabilidad simple puede ser: "¿Cuál es la probabilidad de que caiga el precio de las acciones de Amazon.com?" La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá al preguntar: "¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de AMZN caiga dado que el índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) cayó antes?"

La probabilidad condicional de A dado que B ha sucedido se puede expresar como:

Si A es: "el precio AMZN cae", entonces P (AMZN) es la probabilidad de que AMZN caiga; y B es: "DJIA ya está abajo", y P (DJIA) es la probabilidad de que el DJIA cayera; luego, la expresión de probabilidad condicional se lee como "la probabilidad de que AMZN caiga dada una disminución del DJIA es igual a la probabilidad de que el precio de AMZN disminuya y el DJIA disminuya sobre la probabilidad de una disminución en el índice DJIA".

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN y DJIA) / P (DJIA)

P (AMZN y DJIA) es la probabilidad de que ocurran tanto  A como B. Esto también es lo mismo que la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B dado que ocurre A, expresada como P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). El hecho de que estas dos expresiones sean iguales conduce al teorema de Bayes, que se escribe como:

si, P (AMZN y DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

luego, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).

Donde P (AMZN) y P (DJIA) son las probabilidades de que Amazon y el Dow Jones caigan, sin tener en cuenta entre sí.

La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de ver la evidencia de que P (AMZN), y la probabilidad de la hipótesis después de obtener la evidencia P (AMZN | DJIA), dada una hipótesis para Amazon dada la evidencia en el Dow.

Ejemplo numérico del teorema de Bayes

Como ejemplo numérico, imagine que hay una prueba de drogas que tiene una precisión del 98%, lo que significa que el 98% de las veces muestra un resultado positivo verdadero para alguien que usa la droga y el 98% de las veces muestra un resultado negativo verdadero para los no usuarios de la droga. droga.

 A continuación, suponga que el 0,5% de las personas consume la droga. Si una persona seleccionada al azar da positivo en la prueba del fármaco, se puede hacer el siguiente cálculo para ver si la probabilidad de que la persona sea realmente un usuario del fármaco.

(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 - 0,98) x (1 - 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%

El teorema de Bayes muestra que incluso si una persona dio positivo en este escenario, en realidad es mucho más probable que la persona no sea un usuario de la droga.

El teorema de Bayes, a veces llamado regla de Bayes o principio de probabilidad inversa, es un teorema matemático que se deriva muy rápidamente de los axiomas de la teoría de la probabilidad . En la práctica, se utiliza para calcular la probabilidad actualizada de algún fenómeno o hipótesis objetivo H dados nuevos datos empíricos X y alguna información de fondo, o probabilidad previa.

El teorema de Bayes se utiliza para actualizar la probabilidad de algún fenómeno objetivo o hipótesis H dados nuevos datos empíricos X y alguna información de fondo.

La probabilidad previa de alguna hipótesis suele estar representada por algún porcentaje entre 0% y 100%, o algún número entre 0 y 1. Esta probabilidad a menudo se denomina grado de confianza y se supone que varía de un observador a otro, ya que no todos los observadores han tenido la misma experiencia y, por lo tanto, no pueden hacer estimaciones de probabilidad equivalentes para ninguna hipótesis dada. La aplicación del teorema de Bayes en un contexto científico se denomina inferencia bayesiana, que es una formalización cuantitativa del método científico . Permite la revisión óptima de distribuciones de probabilidad teóricas dados los resultados experimentales.

El teorema de Bayes en el contexto de la inferencia científica dice lo siguiente: "La nueva probabilidad de que alguna hipótesis H sea verdadera (llamada probabilidad posterior) dada nueva evidencia X es igual a la probabilidad de que observemos esta evidencia X dado que H es realmente verdadera (llamada probabilidad condicional, o verosimilitud), multiplicada por la probabilidad previa de que H sea verdadera, todo dividido por la probabilidad de X ".

Una repetición común de lo anterior en términos de cómo el resultado de una prueba contribuye a la probabilidad de que un paciente determinado tenga cáncer puede mostrarse como sigue:

p (positivo | cáncer) * p (cáncer)

_______________________________________________

p (positivo | cáncer) * p (cáncer) + p (positivo | ~ cáncer) * p (~ cáncer)

La barra vertical significa "dado". La probabilidad de que el paciente tenga cáncer después de un resultado positivo en una determinada prueba de cáncer es equivalente a la probabilidad de un resultado positivo dado el cáncer (derivado de resultados anteriores) multiplicado por la probabilidad previa de que una persona determinada tenga cáncer (relativamente baja), todo dividido por ese mismo número, más la probabilidad de un falso positivo multiplicado por la probabilidad previa de no tener cáncer.

Suena complicado, pero la ecuación anterior se puede utilizar para determinar la probabilidad actualizada de cualquier hipótesis dado cualquier resultado experimental cuantificable.