¿Qué es Teoría de la catástrofe?

Una rama emergente de las matemáticas que estudia las discontinuidades es también una teoría de la morfología general, que puede proporcionar modelos matemáticos para la aparición y evolución de formas en la naturaleza. La teoría de la catástrofe es una rama de la topología de múltiples diferenciales en matemáticas, y es una teoría sobre singularidades.

Debido a que el significado original de la palabra en inglés catástrofe es catástrofe repentina, también se traduce como teoría de la catástrofe. La teoría de la catástrofe generalmente no da una hipótesis del mecanismo de mutación, pero proporciona un modelo matemático razonable para describir el fenómeno de la mutación en el mundo real, clasificarlo y sistematizarlo.

La teoría de la catástrofe es particularmente adecuada para estudiar sistemas cuyos efectos internos se desconocen, pero se han observado discontinuidades.

Elmatemático francés R. Thom presentó una breve teoría histórica de la catástrofe a fines de la década de 1960 para explicar el proceso embrionario en embriología.

En 1967, Thom publicó un artículo "Dinámica de la morfogénesis", explicando las ideas básicas de la teoría de catástrofes, y en 1969 publicó "Modelos topológicos en biología", que sentó las bases de la teoría de catástrofes. En 1972, publicó una monografía "Estabilidad estructural y morfogénesis", que explicaba sistemáticamente la teoría de la catástrofe.

Desde la década de 1970, EC Zeeman y otros han propuesto el famoso mecanismo de mutación, han desarrollado aún más la teoría de la mutación y la han aplicado a varios aspectos como la física, la biología, la ecología, la medicina, la economía y la sociología.

Método de investigación: elcálculo, que se ha desarrollado en gran medida desde los tiempos de I. Newton y GW Leibniz, generalmente solo considera procesos suaves y continuos, mientras que la teoría de catástrofes estudia las transiciones de salto, los procesos discontinuos y los cambios cualitativos repentinos. La base de la teoría de las catástrofes es la estabilidad estructural.

La estabilidad estructural refleja la similitud de objetos del mismo tipo en formas muy diferentes. Por ejemplo, aunque la apariencia de una persona cambia con el paso del tiempo, aún existen características que la distinguen de las demás. La pérdida de estabilidad estructural es el comienzo de la mutación.

El concepto básico de la teoría de catástrofes es un modelo estático, que clasifica las formas según las características de estabilidad estructural. En cuanto a la teoría dinámica que describe los cambios estructurales, todavía está incompleta.

La base matemática de la teoría de las catástrofes es la teoría de la singularidad y la teoría de la bifurcación. La singularidad más primitiva es el punto mínimo (punto crítico) de la función de variable real en cálculo. Esta función puede considerarse como un mapeo del espacio de números realesR¹ (coordenadax ) al espacio de números realesR¹ (coordenaday ).

El mapeo suave desde el plano (x₁ ,x ₂ ) al plano (y₁ ,y ₂ ) puede usar un par de funciones y₁ =f₁ (x₁ ,x₂ ),y₂ =f₂ (x₁ ,x₂ ) significa. Cuando H. Whitney estudió las características de este mapeo en 1955, se le ocurrieron dos singularidades generales.

Un tipo es plegable, que se puede expresar mediante la fórmula y ₁ =x₁² ,y ₂ =x ₂ . La singularidad generada por el punto en el ecuador es este tipo de singularidad cuando la esfera se proyecta sobre el plano. El otro es el punto agudo, las coordenadas locales se pueden escribir como y ₁ =x₁³ +x₁x ₂ , y ₂ = x ₂ .

Pon la superficie del espacio y₁ =x₁³ +x ₁ x ₂ Proyectada sobre el plano (y ₁ , y ₂ ), hay una parábola semicúbica en el plano, y hay un punto agudo en el origen (ver imagen). La curva divide el plano en dos partes, la parte más pequeña de la imagen original está compuesta por tres puntos y la parte más grande está compuesta por un solo punto.

El mapeo en la cúspide causa una mutación, que es el tipo de mutación más común estudiado por la teoría de la catástrofe. Whitney demostró que la cúspide es estable, es decir, el mapeo cerca de este tipo de mapeo también tiene el mismo tipo de singularidad en los lugares apropiados.

Thom extendió la teoría de la singularidad de Whitney y la aplicó a la teoría de la catástrofe. Estudió la clasificación de singularidades de R ^{n + r} R ^r .

Aquí n es el número de parámetros que describen el estado del sistema (llamados parámetros de estado o parámetros internos) y r es el número de parámetros de control (también llamados parámetros externos). A medida que cambia el parámetro de control, el parámetro de estado puede tener un cambio repentino, y el valor del parámetro de control en el cambio repentino se denomina punto de cambio repentino.

Por lo general, n puede ser arbitrariamente grande, pero R ^r puede tomarse como un espacio euclidiano espacio-temporal de cuatro dimensiones, que refleja el proceso de control en el espacio-tiempo.

Modeloestático Un modelo estático es una familia de funciones potenciales f _u : X R ⁿ , donde X es un subconjunto del espacio de estados R ⁿ , incluida la vecindad del origen, y el parámetro u pertenece a la vecindad U del origen en el espacio de control R ^r .

El espacio de estado R ⁿ se puede representar mediante parámetros de estado relacionados con el proceso, y el espacio de control R ^r se puede describir mediante parámetros de control en el proceso de control.

Cuando la dimensión r 4, el modelo estático con la función potencial estándar es la mutación elemental. Puede utilizarse como modelo cualitativo de varios procesos naturales. El modelo estático se ha ampliado a un modelo metabólico. Todas las mutaciones primarias se enumeran en la tabla.

Mutación elemental con co- dimensión r 4

Además de las mutaciones elementales básicas, Thom también proporcionó mutaciones de orden superior, que sentaron una base preliminar para el establecimiento de la teoría general de catástrofes.

El modelo de desarrollo de embriones de pollo, la Nebulosa del Cangrejo y los modelos de remanente de explosión de supernova descritos por él pertenecen a la categoría de teoría general de catástrofes, pero aún no se ha establecido una teoría matemática general.

Lateoría de la catástrofe de aplicación tiene una amplia gama de aplicaciones. En matemáticas, mecánica y física, el uso de la teoría de catástrofes no solo puede profundizar la comprensión de las leyes existentes, sino también obtener algunos resultados nuevos.

Por ejemplo, usando la teoría de catástrofes para encontrar todas las formas posibles de cáusticos ligeros. En biología y sociología, muchos fenómenos son difíciles de tratar con otros métodos matemáticos, pero la teoría de catástrofes se puede utilizar para obtener un modelo matemático ideal.

Por ejemplo, el crecimiento y la disminución de la población en el sistema depredador-presa no pueden explicarse satisfactoriamente mediante ecuaciones diferenciales, pero los resultados predichos por la teoría de las catástrofes están en consonancia con los experimentos.

Es posible utilizar la teoría de catástrofes para predecir muchos comportamientos cualitativos del sistema, incluso sin saber qué tipo de ecuaciones diferenciales utiliza la descripción del sistema, o cómo resolver estas ecuaciones diferenciales, se pueden obtener los resultados. Y esta predicción se realiza sobre la base de algunas suposiciones.

Por ejemplo, para el proceso de formación de embriones, latido cardíaco, mecanismo cerebral, estabilidad del barco, etc., se han establecido considerables modelos matemáticos utilizando la teoría de la mutación, y se han logrado ciertos resultados.