Descubre las características de los números primos de Mersenne

Un número primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos. Hasta la fecha se han descubierto unos 44. Durante muchos años se pensó que todos los números de la forma 2 n - 1 eran primos. Sin embargo, en el siglo XVI, Hudalricus Regius demostró que 2 11 - 1 era 2047, con los factores 23 y 89. En los años siguientes se mostraron otros contraejemplos. A mediados del siglo XVII, un monje francés, Marin Mersenne, publicó un libro, Cogitata Physica-Mathematica . En ese libro, afirmó que 2 n - 1 era primo para un valor n de 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257.

Un número primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos.

En ese momento, era evidente que no había forma de que pudiera haber probado la verdad de ninguno de los números más altos. Al mismo tiempo, sus compañeros tampoco pudieron probar ni refutar su afirmación. De hecho, no fue hasta un siglo después que Euler pudo demostrar que el primer número no probado en la lista de Mersenne, 2 31 - 1, era de hecho primo. Un siglo después, a mediados del siglo XIX, se demostró que 2 127 - 1 también era primo. No mucho después de eso, se demostró que 2 61 - 1 también era primo, mostrando que Mersenne había perdido al menos un número en su lista. A principios del siglo XX se agregaron dos números más que se había perdido, 2 89 - 1 y 2 107- 1. Con el advenimiento de las computadoras, verificar si los números eran primos o no se hizo mucho más fácil, y en 1947 se había verificado toda la gama de números primos originales de Mersenne. La lista final agregó 61, 89 y 107 a su lista, y resultó que 257 no era la principal.

No obstante, por su importante trabajo al sentar las bases para que los matemáticos posteriores trabajen, se le dio su nombre a ese conjunto de números. Cuando un número de 2 n - 1 es de hecho primo, se dice que es uno de los números primos de Mersenne.

Un número primo de Mersenne también tiene una relación con lo que se conoce como números perfectos. Los números perfectos han tenido un lugar importante en el misticismo basado en números durante miles de años. Un número perfecto es un número n que es igual a la suma de sus divisores, excluyéndose a sí mismo. Por ejemplo, el número 6 es un número perfecto, porque tiene los divisores 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 también es igual a 6. El siguiente número perfecto es 28, con los divisores 1, 2, 4 , 7 y 14. El siguiente salta hasta 496 y el siguiente es 8128. Cada número perfecto tiene la forma 2 n-1 (2 n - 1), donde 2 n - 1 también es un número primo de Mersenne. Esto significa que al encontrar un nuevo número primo de Mersenne, también nos enfocamos en encontrar nuevos números perfectos.

Como muchos números de este tipo, encontrar un nuevo número primo de Mersenne se vuelve más difícil a medida que avanzamos, porque los números se vuelven sustancialmente más complejos y requieren mucha más potencia de cálculo para verificar. Por ejemplo, mientras que el décimo número primo de Mersenne, 89, se puede verificar rápidamente en una computadora doméstica, el vigésimo, 4423, gravará una computadora doméstica, y el trigésimo, 132049, requiere una gran cantidad de potencia informática. El cuadragésimo número primo conocido de Mersenne, 20996011, contiene más de seis millones de dígitos individuales.

La búsqueda de un nuevo número primo de Mersenne continúa, ya que juega un papel importante en una serie de conjeturas y problemas. Quizás la pregunta más antigua e interesante es si existe un número perfecto impar. Si tal cosa existiera, tendría que ser divisible por al menos ocho números primos y tendría al menos setenta y cinco factores primos. Uno de sus divisores primos sería mayor que 10 20 , por lo que sería un número verdaderamente monumental. Sin embargo, a medida que la potencia informática sigue aumentando, cada nuevo número primo de Mersenne se volverá un poco menos difícil y quizás estos antiguos problemas se resuelvan con el tiempo.